Аксиоматический метод

Аксиоматический метод 

традиционно определяется как такой способ дедуктивного построения научной теории, когда ее основу составляют лишь некоторые, принятые без доказательств положения -аксиомы (постулаты), а все остальные положения теории (теоремы) выводятся (доказываются) из них путем рассуждений, корректных относительно принимаемой этой теорией логики.

Кроме указанной дедуктивной функции аксиоматического метода существует другая важная его функция - эвристическая. Безусловно, эти функции взаимосвязаны, даже взаимообусловлены, но если значение дедуктивной функции отчетливо просматривается для зрелых теорий, обычно - как выполнение требований предельной научной строгости: «Аксиоматический метод, собственно говоря, есть не что иное, как искусство составлять тексты, формализация которых легко достижима» (Н. Бурбаки), то важность эвристической роли несомненна для становящихся теорий, так как посредством аксиоматического метода в пространство теоретического осмысления помещается принципиально новое, порой неожиданное, возможно даже парадоксальное с точки зрения «здравого смысла» и устоявшихся научных представлений, содержание. По этой причине сторонниками аксиоматического метода были многие ученые, в свое время радикально изменившие облик науки, такие, как И. Ньютон, Н. И. Лобачевский, Д. Гильберт, А. Эйнштейн, Н. Бор и др.

Совершим небольшой исторический экскурс, чтобы показать, что именно к аксиоматическому методу обращаются для разрешения тех или иных трудностей и противоречий становящихся теорий. Традиционно начинают с «Начал» Евклида, которые с давних пор заняли место классического примера аксиоматического построения знания, впрочем, справедливость этого широко распространенного взгляда нередко обоснованно оспаривается. Как бы то ни было, общие интенции Евклида вполне соответствуют эвристическим задачам аксиоматического метода, ярко выраженное своеобразие «Начал» позволяет считать, что этот текст занимает некое промежуточное положение между дотеоретической геометрией, представляющей собой ряд догматически поданных правил и рекомендаций к построениям, и геометрией, оформленной строго аксиоматически.

Существуют относительно достоверные историко-культурные гипотезы, объясняющие причины, побудившие древних греков обратиться к аксиоматизации геометрии. Согласно Ван дер Вардену к необходимости строгого теоретического построения геометрии привела потребность в уточнении знаний. Основанием этой потребности послужило параллельное заимствование древними греками математических достижений вавилонян и египтян, причем получаемые сведения далеко не во всем совпадали, напр., известно, что площадь круга у вавилонян соответствовала 3хr², а у египтян - (8/9х2r)². Аксиоматический метод, таким образом, выступил в качестве своеобразного средства разрешения конфликта мнений. По другой версии (А. Сабо), также затрагивающей ключевую для древнегреческой философии оппозицию «мнение - знание», а потому вполне совместимой с предыдущей, аксиоматизация геометрии связана с реакцией на знаменитые апории Зенона Элейского, породившей стремление к точному, непротиворечивому употреблению таких понятий, как «часть», «целое», «равное» в случае бесконечных множеств. Обоснованность этих гипотез подтверждает вышеприведенный тезис об особом значении аксиоматического метода для преодоления трудностей становящейся теории, и таких подтверждений в истории науки встречается немало.

Показательным примером, демонстрирующим обсуждаемые эвристические возможности аксиоматического подхода, является то, что И. Ньютон, опираясь на «метод принципов» вместо распространенного тогда «метода гипотез», в свое время смог с высокой точностью описать оптические явления и явления тяготения, хотя и природу света, и природу тяготения нельзя считать полностью проясненными даже на сегодняшний день. Аксиомы какой-либо теории не требуют своего доказательства в рамках самой теории, а принимаются по внешним, порой лишь гипотетическим, причинам, что и позволяет даже в отсутствии полного знания о сущности явления давать его точное теоретическое описание.

Приведенные примеры, как и многие другие подобные им опыты построения теорий, не сопровождались высоким уровнем методологической рефлексии, сам аксиоматический метод не был еще объектом теоретизирования. Переломным пунктом стало построение Н. И. Лобачевским «воображаемой» геометрии путем выделения в евклидовой геометрии четырех аксиом так называемой абсолютной геометрии и присоединения к ним утверждения, противоположного пятому постулату Евклида о параллельных прямых. Интерпретация такой геометрии не претендовала на естественность и несомненную очевидность, но новая система аксиом была непротиворечивой и потому полноценной в умозрительном смысле. «Скандал» в теоретической геометрии, потерявшей «очарование очевидности», привел к осознанию важности роли аксиоматического метода в науке и в качестве следствия спровоцировал более пристальное внимание к самому методу построения теорий.

Эволюция аксиоматического метода насчитывает три этапа, которые могут быть охарактеризованы как содержательная, формальная и формализованная аксиоматики. Все рассмотренные выше теории относятся к содержательной аксиоматике, т. е. к теориям относительно некоторой системы объектов, известной до формулировки теории; аксиомы и выводимые из них теоремы говорят нечто об объектах изучаемой системы и могут расцениваться как истинные или ложные. Переход к формальной и далее - к формализованной аксиоматике, осуществленный в пер. пол. XX в. с целью использования аксиоматического метода для разрешения методологических и логических трудностей в вопросах оснований математики, связан с именем Д. Гильберта. Программа Гильберта предполагала такое построение математики, которое было бы лишено противоречий логицизма (Г. Фреге), не избежавшего теоретико-множественных парадоксов наивной теории множеств (известный парадокс Б. Рассела), и вместе с тем сохранило бы все достижения и методы классической математики в отличие от интуиционистов (Л. Э. Я. Брауэр), отказавшихся от понятия «актуальная бесконечность» в пользу абстракции «потенциальной бесконечности» и, как следствие, от базирующихся на законе исключенного третьего косвенных доказательств. Гильберт заявлял, что «все затронутые трудности могут быть преодолены и что можно придти к строгому и вполне удовлетворительному обоснованию числа и притом с помощью метода, который я (Д. Гильберт) называю аксиоматическим». Известны губительные для программы Гильберта методологические истолкования результатов К. Гёделя (невозможность финитными средствами решить проблему непротиворечивости арифметики, принципиальная неполнота достаточно богатых исчислений), известны и критика этих истолкований, и модификации программы Гильберта. Однако, несмотря на столь важную для логики и методологии науки проблему, значимым остается эвристический потенциал идеи Гильберта рассматривать теории в качестве строго формализованных объектов.

В «Основаниях геометрии» Гильбертом осуществляется формальная аксиоматика, когда абстрагируются от конкретного содержания понятий, входящих в систему аксиом, и от природы предметной области. В основу формальной аксиоматики кладется система аксиом, затем из этих аксиом получают следствия, которые образуют теорию относительно любой системы объектов, удовлетворяющей положенным в основу аксиомам. Становится необходимым доказательство непротиворечивости формальной аксиоматики. Известно, что до Гильберта основным средством такого доказательства был метод моделей, который позволял непротиворечивость одной теории свести к непротиворечивости другой. Все же, дабы избежать «дурной бесконечности», для какой-либо теории доказательство непротиворечивости должно быть осуществлено непосредственно, путем указания системы объектов, удовлетворяющей формальной системе аксиом, что возможно (путем перебора) лишь в случае конечной предметной области, с бесконечными же предметными областями это невозможно.

Гильбертом было предложено доказывать непротиворечивость в отрицательном смысле: «для заданной системы аксиом А показать, что, исходя из нее и пользуясь средствами логического вывода, нельзя будет получить никакого противоречия, т. е. что никогда не смогут оказаться доказуемыми две формулы, одна из которых является отрицанием другой». Такие доказательства осуществляются с помощью формализованной аксиоматики, представляющей, согласно программе Гильберта, формальную аксиоматическую систему, непротиворечивость которой и доказывается, в виде исчисления, т. е. через трансформацию правил логики в правила оперирования символами.

Таким образом, аксиоматически построенной теории сопоставляется конструктивный объект особого рода - исчисление. Исчисление, взятое само по себе, не является системой знания, а процессы оперирования формулами - логическими процессами. Но поскольку исчисление имеет своей задачей отобразить систему знания, а правила исчисления - логику, то пользуются параллельной терминологией. Так говорят о доказуемых и выводимых формулах исчисления. Но здесь речь идет не о доказуемости или выводимости в собственно логическом смысле, а о том, может ли данная формула быть получена из таких-то и таких-то формул по определенным правилам.

Конечно же, в современной науке эвристическую ценность сохранили и формальные, и содержательные варианты аксиоматического построения теорий, и далеко не только в пределах логической проблематики. Например, в физике XX в., исходя из постулата о постоянстве скорости света и принципа относительности, А. Эйнштейн делает достоверными утверждения «парадокс близнецов» и «парадокс времени», настолько странные, что они, по словам одного из участников жарких споров вокруг выводов теории относительности, «при различных мнениях представляются либо как скандал, либо как чудо». А согласно сформулированной Н. Бором квантовой теории электрон в атоме испускает излучение исключительно при переходе с одной «орбиты» на другую, что не менее скандально, так как в корне противоречит устоявшимся положениям классической электродинамики. Однако произошедшая в XX в. деуниверсализация классической логики, когда возникли альтернативные концепции выводимости, носит все же самый фундаментальный характер, поскольку осознание того, что в основу теории могут быть положены различные, конкурирующие между собой логики, радикальным образом опроблематизировало сами основы построения теоретического знания и в конечном счете понятие рациональности.

А. Г. Кислов

Источник: Общие проблемы философии науки: Словарь для аспирантов и соискателей / сост. и общ. ред. Н. В. Бряник ; отв. ред. О. Н. Дьячкова. - Екатеринбург: Изд-во Урал. ун-та, 2007. – С. 5-8 (318 с.)